Por ejemplo, medir la posición de una partícula en mecánica cuántica se asocia con aplicar el operador posición a la función de ondas (clásicamente, el momento, p, es el producto de la masa de la partícula por su velocidad, y la velocidad se define como la derivada de la posición respecto al tiempo). Los operadores posición y momento no conmutan entre sí. Ello significa que no podemos medirlos al mismo tiempo, y que si medimos uno y después el otro, el resultado será diferente del que habríamos obtenido si los hubiéramos medido en el orden inverso. En este ejemplo, la razón de la no-conmutatividad no resulta difícil de entender si se sabe algo de cálculo: Derivada de (XΨ) = Ψ + X (Derivada de Ψ), lo cual no es igual a X (Derivada de Ψ), que representa la aplicación de los dos operadores en el orden inverso. La primera expresión es consecuencia de la regla para la derivada de un producto.
El hecho de que los dos operadores X (posición de la partícula) y la Derivada (momento de la partícula) no conmuten tiene inmensas consecuencias en mecánica cuántica. Nos indica que no podemos medir la posición y el momento de la misma partícula y esperar una buena precisión en ambas medidas. Si conocemos una de las dos cantidades con buena precisión (la que medimos primero), la otra la conoceremos con escasa precisión. Ello es una consecuencia matemática de la no-conmutatividad de los operadores asociados con esas dos clases de medidas. El hecho de que la posición y el momento de la misma partícula no puedan ser determinados con alta precisión se conoce como el principio de incertidumbre, y fue descubierto asimismo por Werner Heisenberg, siendo ésta su segunda contribución importante a la teoría cuántica tras la formulación de la mecánica matricial. El principio de incertidumbre de Heisenberg es fundamental en mecánica cuántica e introduce en ella las ideas de la teoría de la probabilidad a un nivel muy básico. Afirma que la incertidumbre no puede eliminarse en los sistemas cuánticos. Se expresa como:
ΔpΔx ≥ h
Aquí Δp es la incertidumbre respecto al momento y Δx la correspondiente a la posición. El principio establece que el producto de ambas incertidumbres es mayor o igual que la constante de Planck. Las implicaciones de esta aparentemente sencilla fórmula son muy grandes. Si conocemos de forma muy precisa la posición de una partícula, no podemos conocer su momento mejor que un determinado nivel de precisión, no importa lo que nos esforcemos en ello y lo bueno que puedan ser nuestros aparatos. Recíprocamente, si conocemos exactamente el momento de una partícula, no podemos conocer bien su posición. La incertidumbre en el sistema no puede desaparecer nunca un reducirse por debajo del nivel prescrito por la fórmula de Heisenberg.
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